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[07/2008] Die Welt als mathematische Kurve

Von • Jul 4th, 2008 • Kategorie: Artikel

Vom Missbrauch der Mathematik in den Geistes- und Gesellschaftswissenschaften

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Die Welt als mathematische Kurve

Der Pluralismus der brgerlichen Geistes- und Gesellschaftswissenschaften besteht auf der prinzipiellen Ungewissheit von Erkenntnis. Theorien, die mehr als ein Ansatz unter vielen zu sein beanspruchen, werden als Dogmatismus ausgegrenzt. Seltsamerweise findet derselbe Pluralismus immer mehr Gefallen an einer Disziplin wie der Mathematik, die nun allerdings sehr „dogmatisch“ darauf besteht, dass sie gltige Gesetze formuliert und sonst nichts. Das Interesse gilt der Mathematik als einem Werkzeug der Sozialwissenschaften. Dass es sich um einen rationellen Gebrauch der Mathematik wie z.B. in der Physik nicht handeln kann, entnimmt man bereits den einschlgigen Urteilen ber die Leistungen der Mathematik, wie sie im gesellschaftswissenschaftlichen Getriebe die Runde machen. Sie zeugen weniger von einer Kenntnis der Mathematik als von dem Willen, ihre erfundenen Eigenarten beizulegen, die sie fr eine ideologische Indienstnahme tauglich machen sollen.

Ist die Mathematik exakt?

Eindeutig ja, lautet das erste Lob auf diese Disziplin, das sie vor anderen auszeichnen soll. Dagegen wre zu bemerken, dass die Titulierung „exakt“ keine nhere Bestimmung von Wissenschaft, sondern einen reinen Pleonasmus darstellt. Denn worin sonst besteht Wissenschaft als darin, „exakt“ die Bestimmungen einer Sache zu erschlieen, die ihr und nicht irgendetwas anderem zukommen.

In den

Gleichungen

der Mathematik meinen brgerliche Wissenschaftler allerdings ein Indiz fr ihren Unsinn gefunden zu haben. Whrend das Urteil „Der brgerliche Staat ist die politische Gewalt der kapitalistischen Gesellschaft“ bestenfalls als hchst uneindeutige Hypothese durchgeht, gilt das Fallgesetz s = g/2 * t als Paradebeispiel eines exakten Urteils. Und warum? Weil letzteres eine Gleichung ist? Das Gesetz verlre berhaupt nichts von seiner Gltigkeit, drckte man es in dem Satz aus, dass im freien Fall der zurckgelegte Weg mit dem Quadrat der Zeit wchst. Schlielich: dass s, g, t gemessen und beziffert werden, macht keinen Unterschied in der „Genauigkeit“ des Urteils, sondern zeigt einen Unterschied der erklrten Gegenstnde an. Selbst da, wo es in der Sphre von Staat und Kapital um bezifferbare Gegenstnde geht, liegt deren Erklrung nicht in Quantitten und Verhltnissen davon. Staatsverschuldung ist nicht, dass sie 30 Mrd. betrgt. Der politische Zweck der Gewalt setzt und verndert das Ma der Verschuldung, statt dass ein Quantum und seine Vernderung ein unumstliches Gesetz bildeten, dem der Staat wie einem Naturgesetz unterworfen wre. Diese Eigentmlichkeit ist tatschlich dem Fallgesetz vorbehalten, das die Notwendigkeit des angegebenen quantitativen Verhltnisses von Weg und Zeitquadrat ist. Worin besteht es also, das Kompliment „exakt“? Vom Inhalt der beiden Urteile sieht es ebenso ab wie von ihrem Wahrheitsgehalt. Das Attribut „exakt“ fr eine Gleichung bestreitet ja weder den Satz ber den Staat, noch erweist es das Fallgesetz als wahr. Dass ihm (grere) „Genauigkeit“ zukomme, meint offenkundig eine von Inhalt und Wahrheit unterschiedliche Qualitt. Als einer Methode des Erklrens gilt den mathematischen Stzen das Etikett „exakt“. Auf diese Weise wird die Form mathematisch-naturwissenschaftlicher Gesetze von ihrem Inhalt getrennt und als dessen Grund behauptet. Nur: eine Gleichung und ihr Inhalt verhalten sich nicht wie Erkenntnisweg und -ziel zueinander. Anders gesagt: dem Fallgesetz kommt die Form der Gleichung s = g/2 * t deswegen zu, weil es dieses quantitative Verhltnis von Weg und Zeit ist. Und nicht umgekehrt hat es diesen Inhalt deshalb, weil das mathematische Denken sich fr die Form der Gleichung als Erkenntnisinstrument fr den freien Fall entschieden htte. Der Wunsch nach einer korrekten Methode des Erkennens ist prinzipiell verkehrt. Eine aus der Sache begrndete Entscheidung fr das „passende“ Erkenntnisinstrument setzte ja bereits voraus, was erst seine Anwendung erbringen soll, die Erkenntnis der Sache. Mit ihrem Vorliegen erbrigte sich aber auch der Rckgang auf eine Methode, weil bereits vollbracht wre, was die Methode bewerkstelligen sollte. Brgerliche Denker beharren dennoch auf der Notwendigkeit von Methoden. Die Entscheidung fr eine Methode und deren Inhalt liegt dann jedenfalls vor allem Urteil ber die Sache: sie enthlt tatschlich das Vor-Urteil, das Interesse, dem- gem man eine Sache sich vorstellen mchte. Und das ist nichts als eine wissenschaftlich begrndete Absage an wissenschaftliche Erkenntnis. Unter der Hand ist also aus den Resultaten mathematischer Wissenschaft eine Art und Weise des Denkens, Methode eben, geworden. Und deren herausragende Leistung sehen brgerliche Denker im Gebrauch der

Symbole

die jene Eindeutigkeit verbrgen sollen, welche die mathematische Methode vor allen anderen als exakt ausweist. Nun sind abkrzende Schreibweisen per Symbol in der Mathematik tatschlich an der Tagesordnung. Dass Symbole hier allerdings die Eindeutigkeit von Begriffen stiften, ist ein Gercht. Dass f(x) = y ist, sagt all denjenigen eindeutig nichts, denen nicht die per Symbol bezeichneten Gegenstnde eindeutig bekannt sind. Das Wissen um die bezeichneten Sachen wie stetig differenzierbare Funktionen und reelle Zahlen ist den Symbolen vorausgesetzt, will man sie berhaupt als deren Symbole verstehen knnen. Als eine besondere Leistung erscheint brgerlichen Denkern diese Banalitt nur deshalb, weil sie der Umgangsprache einen ganz prinzipiellen Mangel angedichtet haben: ihre Wrter und Begriffe seien uneindeutig.

„Die Sprache erweist sich als mangelhaft, wenn es sich darum handelt, das Denken vor Fehlern zu bewahren…. Dasselbe Wort dient zur Bezeichnung eines Begriffes und eines einzelnen unter diesen fallenden Gegenstandes…. ‚Das Pferd‘ kann ein Einzelwesen, es kann auch die Art bezeichnen…. Die Sprache ist nicht in der Weise durch logische Gesetze beherrscht, dass die Befolgung der Grammatik schon die formale Richtigkeit der Gedankenbewegung verbrgte.“ (G. Frege: ber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift)

Frege benutzt sein Wissen um die unterschiedenen Bedeutungen des Wortes Pferd, um ihre Ununterscheidbarkeit als Mangel des Wortes zu beweisen. Und schlielich belegt die Tatsache, dass man in grammatisch korrekten Stzen auch Unsinn wiedergeben kann, nicht einen Mangel der Sprache, sondern einen Fehler des geuerten Gedankens. Frege verwechselt beides, weil seine aberwitzige Sehnsucht einer per Grammatik gegebenen Denkstruktur gilt, die einem das Denken und Urteilen erspart- und doch immer „Richtigkeit“ garantiert. Es ist dies eine Weise, dem Denken ganz prinzipiell die Objektivitt zu bestreiten: man soll richtig denken, ohne etwas zu denken; die Wahrheit von Gedanken soll getrennt von und vor ihrem Inhalt feststehen. Diesen ihren eigenen Widersinn wollen Sozialwissenschaftler allen Ernstes fr die Leistung der Mathematik halten. In ihr soll eine Kunstsprache aus Symbolen und formaler Logik zuhause sein, die jene „formale Richtigkeit der Gedankenbewegung“ verbrgt, gleich welche Gedanken da bewegt werden.

Im

Schlieen

folgender Art offenbart sich daher fr einen Soziologen die „Macht des mathematischen Denkens“:

„Das Wenn-Dann-Paradigma: ‚Wenn John der Ehemann von Mary ist, dann ist Mary die Ehefrau von John. Zwar kann diese Behauptung als das Ergebnis vieler Beobachtungen aufgefat werden, bei denen eine Frau immer die Ehefrau ihres Ehemannes war, aber dazu sind empirische Beobachtungen berflssig…. Wenn wir wissen, dass John der Gatte von Mary ist, so sind wir aufgrund der Bedeutung von ‚Gatte‘ und Frau gezwungen zu schlieen, dass Mary die Frau von John ist.“ (Rapoport: Mathematische Methoden in den Sozial- wissenschaften, 15/16)

Der Satz ist zwar richtig, ein vernnftiger Schluss ist er nicht. Hinterher wei man nicht mehr als vorher, weil aus der Voraussetzung gar kein neuer Satz geschlossen wird. Umgekehrt landet der Schluss so todsicher bei seiner – ausgerechnet! – Prmisse John = Gatte heit Mary = Ehegattin), weil er sie nie verlassen hat.

Als Albernheit gelten solche Beispiele bei den Bewunderern der Mathematik nicht. Sie stehen fr das Fehlurteil, das sie verbreiten wollen. Die Exaktheit der Mathematik, die aus Gleichungen, Symbolen und formaler Logik sprechen soll, lst sich auf in die Vorstellung einer Technik der „Fhrung“ von Gedanken, die so un- anfechtbar ist wie die Gedanken inhaltslos. Darin sieht ein Popper ganz uniroisch die Leistung jedes „mathematischen Lehrsatzes, dessen Gehalt immer gleich Null ist„. (Popper: Die Zielsetzung der Erfahrungswissenschaft; in Theorie und Realitt, 35) Die Umdeutung der Mathematik in eine Methode fllt also zusammen mit der Bestreitung ihres Inhalts, so dass sie jetzt prompt jedem Sozialwissenschaftler einleuchtet als ein Instrumentarium, das man getrost auf jeden Inhalt anwenden darf.

Ist die Mathematik universell?

Eindeutig ja, meinen die Freunde der Zunft aus dem anderen Lager. „Die Mathematik stellt die lingua franca aller Wissenschaft dar, da sie an sich ohne Inhalt ist. “ (Rapoport, op. cit. 10) Abiturienten sollten das besser wissen. Zahlen und Gesetze der Rechenoperationen (Arithmetik), Gleichungen und Gesetze ihrer Lsungen (Algebra), Funktionen und ihre Gesetze der Stetigkeit, Differenzierbarkeit (Analysis) etc. sind der Inhalt der Mathematik. Die Behauptung von der Inhaltslosigkeit wird auch durch folgenden Einfall nicht haltbarer:

„Der Fall eines gereiften Apfels, die Bewegung der Gestirne, der Flug von Geschossen und heute die Bahnen der Satelliten wie auch die Wege der Raumschiffe sind alle Gegenstand einer einzigen mathematischen Theorie.“ (Rapoport, 21)

Wenn so disparate Gegenstnde wie Apfel, Gescho und Raumschiff unter ein ? brigens physikalisches ? Gesetz wie ‚Kraft = Masse x Beschleunigung‘ fallen, dann deshalb, weil sie tatschlich eine Gemeinsamkeit an sich haben. Sie sind Massen, und als solche unterliegen sie den dafr geltenden Gesetzen. In diesen Gesetzen spielt der besondere Inhalt der Masse, ob Zellstoff oder Stahl, keine Rolle. Ein Kilogramm ist eben ein Kilogramm, ob von einem Stck organischer oder anorganischer Natur auf die Waage gebracht (dies ein Unterschied von Qualitten, der in die Chemie fllt). Daraus mchten brgerliche Denker folgenden Fehlschluss gezogen haben: weil Apfel und Raumschiff in den Bestimmungen, die in den Gesetzen der Mechanik keine Rolle spielen, auch nicht vorkommen, also erst recht nicht als der sinnlich wahrgenommene Gegenstand, an dem alle Bestimmungen in Einheit existieren, kommt in den mechanischen Gleichungen gar kein Inhalt vor. Also sind die Gleichungen inhaltslos und daher auf die unterschiedlichsten Inhalte anzuwenden. Wogegen zu bemerken wre, ein Soziologe mge einmal statt der Fallgeschwindigkeit des Apfels erfragen, ob er auch stetig differenzierbar ist. Eine Anregung, die schleunigst revidiert werden muss. Ihm fiele nmlich gar nicht auf, dass er in der Funktionentheorie mit Gesetzen einer Qualitt namens Funktion hantiert, die so ein Frchtchen ? im Unterschied zur Masse! ? gar nicht an sich hat, weswegen es auch nicht unter diese Theorie fllt.

Der Missbrauch der Mathematik

in den Geistes- und Gesellschaftswissenschaften besteht nmlich in folgendem Idealismus:

„Der einzigartige Erfolg der mathematischen Wissenschaften erklrt sich gerade auf der Verbindung (!) dieser transzendenten ‚Realitt‘ idealisierter Begriffe und der beobachtbaren Welt.“ (Rapoport, 16)

‚Transzendente Realitt‘ nennt der Soziologe die Mathematik deshalb, weil sie ihm zufolge ein Sammelsurium von Begriffen vorstellt, in denen gar nicht etwas begriffen ist. Also schon gar nicht die „beobachtbare Welt“, die aber doch mit ihnen begriffen werden soll. Eine „Verbindung“ ist den mathematischen Begriffen und der Wirklichkeit also auch nicht eigen. Denn wie sollte man einem Begriff ohne Inhalt anmerken, auf welchen er bezogen ist! Was der Soziologe Verbindung nennt, ist also ein Akt reiner Willkr. Man muss einem realen Gegenstand eine mathematische Gesetzmigkeit zuschreiben. Dann kann man ihn auch als solche betrachten. Nie werden also seine Bestimmungen ermittelt. Umgekehrt ist die reine Konstruktion von Gesetzmigkeiten der Ausgangspunkt, als deren Ausdruck dann die „beobachtbare Welt“ gedeutet wird. Ein Popper bekennt sich sehr selbstbewusst zu dieser Sorte Metaphysik:

“Indem wir Erklrungen in der Form von universellen Naturgesetzen whlen (!), schlagen wir eine Lsung fr genau dieses zuletzt er- whnte (platonische) Problem vor. Denn wir stellen uns alle individuellen Dinge und alle einzelnen Tatsachen als diesen Gesetzen unterworfen vor. Die Gesetze erklren daher Regelmigkeiten oder hnlichkeiten individueller Dinge oder individueller Tatsachen oder Ereignisse. Und diese Gesetze sind nicht (sic!) den einzelnen Dingen inhrent.“ (Popper, op. cit. 34)

Diese Wissenschaft entdeckt also genau die „Regelmigkeiten“, die sie zuvor mit ihren konstruierten „Gesetzen“ in die Sachen hineingelegt hat, die aber deren Gesetze gar nicht sind. Der Unsinn ist also unvermeidlich.

***

Angenommen, wir haben einen gltigen Syllogismus wie zum Beispiel:

(a) Alle Menschen sind sterblich (1)
(b) Alle Athener sind Menschen (2)
???????????????????????????
(c) Alle Athener sind sterblich (3)

Die Regel der indirekten Reduktion besagt nun:

(4) Wenn a – b|c ein gltiger Schluss ist, dann ist a – non-c | non-b ebenfalls ein gltiger Schluss. So finden wir zum Beispiel infolge der Gltigkeit des Schlusses (c) aus den Prmissen (a) und (b), dass

Alle Menschen sterblich sind
(non-c) Einige Athener sind nicht-sterblich
????????????????????????????????
(non-b) Einige Athener sind nicht-Menschen

ebenfalls gltig sein muss.

(Popper, Was ist Dialektik, in: Logik der Sozialwissenschaften, S 270 f)

In dem beliebten vollkommenen Schlusse:

Alle Menschen sind sterblich
Nun ist Cajus ein Mensch,
Ergo ist Cajus sterblich,

ist der Obersatz nur darum und insofern richtig, als der Schlusssatz richtig ist; wre Cajus zuflligerweise nicht sterblich, so wre der Obersatz nicht richtig. Der Satz, welcher Schlusssatz sein sollte, muss schon unmittelbar fr sich richtig sein, weil der Obersatz sonst nicht alle Einzelne befassen knnte; ehe der Obersatz als richtig gelten kann, ist vorher die Frage, ob nicht jener Schlusssatz selbst eine Instanz gegen ihn sei.

(Hegel, Wissenschaft der Logik II, S. 383)

***

Warnung vor Missverstndnissen

Der Grund fr die Fehler, welche in der Geistes- und Gesellschaftswissenschaft unter Verwendung der Mathematik fabriziert werden, liegt im Idealismus dieser Disziplinen. Nicht in der Mathematik selbst, wie manche Kritiker meinen. Ihre Auffassung vom Rechnen

Mathematik: Blo quantitativ und abstrakt?

ist nicht weniger verkehrt als die von uns kritisierte Vorliebe der Sozialabteilung frs Mathematische. Auch sie halten die Mathematik fr eine Methode, allerdings im Unterschied zu den genannten Kollegen fr eine unbrauchbare bis gefhrliche.

  1. Dass die Zahl eine „blo quantitative“ Bestimmung sei, ist keine sehr intelligente Kritik an der Zahl. Ausgerechnet ihre Leistung wird ihr damit nmlich zum Vorwurf gemacht. Sie bestimmt die Einheit nach ihrer Anzahl, getrennt davon, welchen besonderen Inhalt diese Einheut beim Abzhlen dieser oder jener Gegenstnde haben mag. Genau das soll sie. Die Rechenoperation 2 + 2 = 4 wird ja keineswegs dadurch modifiziert, dass die Einheit das eine Mal aus pfeln, das andere Mal aus Birnen besteht. Wohl aber ist mit der Zahl soviel verlangt: weil sie die Anzahl einer Einheit ist, macht die Addition v e r s c h i e d e n e r Einheiten keinen Sinn. 2 pfel + 2 Birnen = bestenfalls Kompott.
  2. Ganz verkehrt wird die Kritik also da, wo sie auf Gleichungen dimensionierter Quantitten wie in der Physik Bezug nimmt. 2 Meter sind nie gleich 2 Sekunden, mag 2 auch noch so sehr gleich 2 sein. Von der Qualitt der Quantitten hngt es ab, welche neue Qualitt durch quantitative Verhltnisse gegeben ist. Ein zurckgelegte Strecke von 120 km im Verhltnis zur dafr bentigten Zeit von 2 h macht nicht einfach 120 : 2 = 60 sondern 120 km / 2 h = 60 km/h Geschwindigkeit.
  3. Dass schlielich in der Mathematik wie in jeder Wissenschaft Abstraktionen ihren Platz haben, ist richtig. Verkehrt ist die Kritik daran. Stimmen mssen Abstraktionen eben. Dann tun sie ihr Werk fr die Erklrung, indem sie das Allgemeine verschiedener Besonderheiten festhalten, das diese bestimmt. ‚Der Staat‘ existiert genausowenig wie ‚die Funktion‘; beide Abstraktionen fassen das Allgemeine, das im jeweils Besonderen, im englischen und deutschen Staat, in dieser Parabel und jener Hyperbel vorliegt. Schon Hegel hat sich darber lustig gemacht, die Abstraktion als eine Unwirklichkeit gegen das Besondere zu stellen und sie deswegen zu verteufeln:
  4. „Solche Stellung wrde bei den Gegenstnden des gemeinen Lebens von selbst als unangemessen und ungeschickt auffallen, wie wenn z.B. einer, der Obst verlangt, Kirschen, Birnen, Trauben usf. ausschlge, weil sie Kirschen, Birnen, Trauben, nicht aber Obst seien.“ (Hegel, Enz.. I, 59)

  5. Der ganze Vorwurf „blo quantitativ“ verschafft sich schlielich seine drftige Plausibilitt nur dadurch, dass er die Zahl auf solche Sphren anwendet, in denen sie nichts zu suchen hat. Marx hat das Ntige dazu gesagt.
  6. „Was ist eine halbe Vernunft, was ist ein Drittel Wahrheit?“,

    fragt ein gewisser Karl Grn polemisch an. Berechtigt Marxens Gegenfrage:

    „Was ist ein grn angelaufener Logarithmus?“ (MEW 3, 501)

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